与えられた定積分を計算する問題です。具体的には、 (1) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x) dx + \int_{2}^{3} (3x^2 - 4x) dx$ (2) $\int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx - \int_{1}^{3} (x^2 + 2x) dx$ の2つの問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。具体的には、

(1) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x) dx + \int_{2}^{3} (3x^2 - 4x) dx$

(2) $\int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx - \int_{1}^{3} (x^2 + 2x) dx$

の2つの問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、定積分の性質を利用して、積分範囲をまとめます。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

これより、

$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x) dx + \int_{2}^{3} (3x^2 - 4x) dx = \int_{1}^{3} (3x^2 - 4x) dx$

次に、積分を実行します。

$\int (3x^2 - 4x) dx = x^3 - 2x^2 + C$

したがって、

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x) dx = [x^3 - 2x^2]_{1}^{3} = (3^3 - 2(3^2)) - (1^3 - 2(1^2)) = (27 - 18) - (1 - 2) = 9 - (-1) = 10$

(2)

こちらも定積分の性質を利用して、積分範囲をまとめます。

$\int_{a}^{c} f(x) dx - \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$

したがって、

$\int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx - \int_{1}^{3} (x^2 + 2x) dx = \int_{0}^{1} (x^2 + 2x) dx$

積分を実行します。

$\int (x^2 + 2x) dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) dx = [\frac{1}{3}x^3 + x^2]_{0}^{1} = (\frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2) - (\frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2) = (\frac{1}{3} + 1) - 0 = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) $\frac{4}{3}$