次の二つの定積分を求めます。 (1) $\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$ (2) $\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta$

1. 問題の内容

次の二つの定積分を求めます。

(1) $\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$

(2) $\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$ について

絶対値を外すために $\sqrt{x} - 2 = 0$ となる $x$ を求めます。

$\sqrt{x} = 2$ より、$x = 4$ となります。

積分区間を $1 \leq x \leq 4$ と $4 \leq x \leq 9$ に分けます。

$1 \leq x \leq 4$ のとき、$\sqrt{x} - 2 \leq 0$ なので $|\sqrt{x} - 2| = -(\sqrt{x} - 2) = 2 - \sqrt{x}$

$4 \leq x \leq 9$ のとき、$\sqrt{x} - 2 \geq 0$ なので $|\sqrt{x} - 2| = \sqrt{x} - 2$

したがって、

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\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx = \int_{1}^{4} (2 - \sqrt{x}) dx + \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx

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$\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ であることを利用して、

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\int_{1}^{4} (2 - \sqrt{x}) dx = \left[2x - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \left(8 - \frac{2}{3} \cdot 8 \right) - \left(2 - \frac{2}{3} \right) = 8 - \frac{16}{3} - 2 + \frac{2}{3} = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18-14}{3} = \frac{4}{3}

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\int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2x \right]_{4}^{9} = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 18 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 \right) = 18 - 18 - \frac{16}{3} + 8 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24-16}{3} = \frac{8}{3}

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\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4

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(2) $\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta$ について

$\cos{\theta} = 0$ となる $\theta$ を求めると、$\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos{\theta} \geq 0$ なので $|\cos{\theta}| = \cos{\theta}$

$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$ のとき、$\cos{\theta} \leq 0$ なので $|\cos{\theta}| = -\cos{\theta}$

したがって、

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\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\theta} d\theta + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos{\theta}) d\theta

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\theta} d\theta = \left[ \sin{\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0} = 1 - 0 = 1

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\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos{\theta}) d\theta = \left[ -\sin{\theta} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\sin{\pi} - (-\sin{\frac{\pi}{2}}) = -0 + 1 = 1

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\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta = 1 + 1 = 2

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3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2