与えられた三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に合成する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。以下の４つの式について解きます。 (1) $\sin\theta + \cos\theta$ (2) $\sin\theta - \cos\theta$ (3) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ (4) $-\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に合成する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。以下の４つの式について解きます。

(1) $\sin\theta + \cos\theta$

(2) $\sin\theta - \cos\theta$

(3) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

(4) $-\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式は、

$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$

ただし、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos\alpha = \frac{a}{r}$, $\sin\alpha = \frac{b}{r}$ です。

(1) $\sin\theta + \cos\theta$ の場合、$a=1, b=1$ なので、

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

(2) $\sin\theta - \cos\theta$ の場合、$a=1, b=-1$ なので、

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

(3) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の場合、$a=1, b=\sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

(4) $-\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ の場合、$a=-\sqrt{3}, b=1$ なので、

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\cos\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ より、$\alpha = \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

(2) $\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

(3) $2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

(4) $2\sin(\theta + \frac{5\pi}{6})$