与えられた三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に合成します。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha < \pi$とします。今回は問題(3)の$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$を解きます。

## 数学の問題を解く

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に合成します。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha < \pi$とします。今回は問題(3)の$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$を解きます。

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式は次の通りです。

$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$

ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$、$\sin\alpha = \frac{b}{r}$ となります。

今回の問題では、$a = 1$、$b = \sqrt{3}$ です。

まず、$r$ を計算します。

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

次に、$\cos\alpha$ と $\sin\alpha$ を計算します。

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

これらの条件を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

なぜなら$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$と$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$だからです。

また、$-\pi < \frac{\pi}{3} < \pi$ の条件も満たしています。

したがって、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ は $2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ と合成できます。

3. 最終的な答え

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$