与えられた6つの関数を微分する問題です。ここでは問題(2)から(6)までを解きます。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。ここでは問題(2)から(6)までを解きます。

2. 解き方の手順

(2) $y = \frac{1}{\tan x}$の微分

まず、$y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$ と変形します。

$\cot x$の微分は$-\frac{1}{\sin^2 x}$または $-\csc^2 x$ です。

したがって、

$y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(3) $y = e^x \sin x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = e^x$、$v = \sin x$とすると、$u' = e^x$、$v' = \cos x$です。

したがって、

$y' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

(4) $y = xe^{-2x}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = x$、$v = e^{-2x}$とすると、$u' = 1$、$v' = -2e^{-2x}$です。

したがって、

$y' = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)$

(5) $y = \log(x^2 + 4)$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = x^2 + 4$ とすると、$y = \log u$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いると、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$、$\frac{du}{dx} = 2x$ なので、

$y' = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4}$

(6) $y = e^x \log x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = e^x$、$v = \log x$とすると、$u' = e^x$、$v' = \frac{1}{x}$です。

したがって、

$y' = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x(\log x + \frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

(2) $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(3) $y' = e^x(\sin x + \cos x)$

(4) $y' = e^{-2x}(1 - 2x)$

(5) $y' = \frac{2x}{x^2 + 4}$

(6) $y' = e^x(\log x + \frac{1}{x})$