関数 $xe^x$ の微分を求めよ。すなわち、$\frac{d}{dx}(xe^x)$ を計算せよ。

解析学微分関数の微分積の微分法則
2025/6/30

1. 問題の内容

関数 xexxe^x の微分を求めよ。すなわち、ddx(xex)\frac{d}{dx}(xe^x) を計算せよ。

2. 解き方の手順

積の微分法則を用いる。積の微分法則は、2つの関数 u(x)u(x)v(x)v(x) の積の微分が
ddx(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x)\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
で与えられるというものである。
この問題では、u(x)=xu(x) = xv(x)=exv(x) = e^x とすると、u(x)=1u'(x) = 1v(x)=exv'(x) = e^x となる。したがって、
ddx(xex)=(1)ex+x(ex)=ex+xex=(x+1)ex\frac{d}{dx}(xe^x) = (1)e^x + x(e^x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x
となる。

3. 最終的な答え

(x+1)ex(x+1)e^x

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