与えられた合成関数の微分を計算する問題です。具体的には、以下の7つの関数の微分を求めます。 * $(e^{-x^2})'$ * $(\sin(\cos x))'$ * $((x^2 - 1)^4)'$ * $(x^2 e^{-3x})'$ * $(2 \sin 2x)'$ * $(e^{-4x} \sin x)'$

1. 問題の内容

与えられた合成関数の微分を計算する問題です。具体的には、以下の7つの関数の微分を求めます。

* $(e^{-x^2})'$

* $(\sin(\cos x))'$

* $((x^2 - 1)^4)'$

* $(x^2 e^{-3x})'$

* $(2 \sin 2x)'$

* $(e^{-4x} \sin x)'$

2. 解き方の手順

* $(e^{-x^2})'$

$t = -x^2$と置くと、$e^{-x^2} = e^t$。合成関数の微分より、

$\frac{d}{dx} e^t = \frac{d e^t}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = e^t \cdot (-2x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

* $(\sin(\cos x))'$

$t = \cos x$と置くと、$\sin(\cos x) = \sin t$。合成関数の微分より、

$\frac{d}{dx} \sin t = \frac{d \sin t}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \cos t \cdot (-\sin x) = \cos(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x)$

* $((x^2 - 1)^4)'$

$t = x^2 - 1$と置くと、$(x^2 - 1)^4 = t^4$。合成関数の微分より、

$\frac{d}{dx} t^4 = \frac{d t^4}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = 4t^3 \cdot (2x) = 4(x^2 - 1)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2 - 1)^3$

* $(x^2 e^{-3x})'$

積の微分公式を使う。$(uv)' = u'v + uv'$。$u = x^2$, $v = e^{-3x}$とすると、

$\frac{d}{dx} (x^2 e^{-3x}) = (x^2)' e^{-3x} + x^2 (e^{-3x})' = 2x e^{-3x} + x^2 (-3e^{-3x}) = 2xe^{-3x} - 3x^2 e^{-3x} = e^{-3x}(2x - 3x^2)$

* $(2 \sin 2x)'$

$t = 2x$と置くと、$2\sin 2x = 2\sin t$。合成関数の微分より、

$\frac{d}{dx} (2 \sin t) = 2 \frac{d \sin t}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = 2 \cos t \cdot 2 = 4 \cos 2x$

* $(e^{-4x} \sin x)'$

積の微分公式を使う。$u = e^{-4x}$, $v = \sin x$とすると、

$\frac{d}{dx} (e^{-4x} \sin x) = (e^{-4x})' \sin x + e^{-4x} (\sin x)' = -4e^{-4x} \sin x + e^{-4x} \cos x = e^{-4x}(\cos x - 4 \sin x)$

3. 最終的な答え

* $(e^{-x^2})' = -2xe^{-x^2}$

* $(\sin(\cos x))' = -\sin x \cos(\cos x)$

* $((x^2 - 1)^4)' = 8x(x^2 - 1)^3$

* $(x^2 e^{-3x})' = e^{-3x}(2x - 3x^2)$

* $(2 \sin 2x)' = 4 \cos 2x$

* $(e^{-4x} \sin x)' = e^{-4x}(\cos x - 4 \sin x)$