媒介変数表示された曲線 $x = \cos \theta (1+\cos \theta)$, $y = \sin \theta (1 - \cos \theta)$ (ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)について、$\int_0^2 y \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = \cos \theta (1+\cos \theta)$, $y = \sin \theta (1 - \cos \theta)$ (ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)について、$\int_0^2 y \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$dx$ を $d\theta$ で表します。

$x = \cos \theta (1+\cos \theta) = \cos \theta + \cos^2 \theta$ なので、

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta - 2 \cos \theta \sin \theta = -\sin \theta - \sin 2\theta$

したがって、$dx = (-\sin \theta - \sin 2\theta) d\theta$

次に、$x$ の積分範囲に対応する $\theta$ の範囲を求めます。

$x = 0$ のとき、$\cos \theta (1+\cos \theta) = 0$ なので、$\cos \theta = 0$。したがって、$\theta = \frac{\pi}{2}$。

$x = 2$ のとき、$\cos \theta (1+\cos \theta) = 2$。この式を満たす $\theta$ は存在しません。問題文に誤りがある可能性がありますが、$\theta=0$のとき$x=2$と読み替えることにします。

したがって、積分範囲は $\frac{\pi}{2}$ から $0$ となります。

$\int_0^2 y \, dx = \int_{\pi/2}^0 \sin \theta (1-\cos \theta) (-\sin \theta - \sin 2\theta) \, d\theta$

$= \int_{\pi/2}^0 \sin \theta (1-\cos \theta) (-\sin \theta - 2 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$

$= \int_{\pi/2}^0 - \sin^2 \theta (1-\cos \theta) (1+2\cos \theta) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta (1-\cos \theta) (1+2\cos \theta) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta (1 + 2 \cos \theta - \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta (1 + \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta + \sin^2 \theta \cos \theta - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (\frac{1-\cos 2\theta}{2} + \sin^2 \theta \cos \theta - 2 (1-\cos^2 \theta) \cos^2 \theta) \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (\frac{1}{2} - \frac{\cos 2\theta}{2} + \sin^2 \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta + 2 \cos^4 \theta) \, d\theta$

$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \, d\theta = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{\pi/2} -\frac{\cos 2\theta}{2} \, d\theta = -\frac{1}{4} [\sin 2\theta]_0^{\pi/2} = 0$

$\int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta \cos \theta \, d\theta = [\frac{\sin^3 \theta}{3}]_0^{\pi/2} = \frac{1}{3}$

$\int_0^{\pi/2} -2 \cos^2 \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} - (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = -[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/2} = -\frac{\pi}{2}$

$\int_0^{\pi/2} 2 \cos^4 \theta \, d\theta = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8}$

したがって、$\int_0^2 y \, dx = \frac{\pi}{4} + 0 + \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} = \frac{1}{3} + (\frac{2\pi - 4\pi + 3\pi}{8}) = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} + \frac{\pi}{8}$