$\frac{(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})(\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n})}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$

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1. 問題の内容

画像の問題のうち、1番(1)の極限を求めます。

$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$

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2. 解き方の手順

1. $\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}$ を有理化します。分子と分母に $\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}$ を掛けます。

$\frac{(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})(\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n})}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$

2. 分子を計算します。 $(\sqrt{n^2+n})^2 - (\sqrt{n^2-n})^2 = (n^2+n) - (n^2-n) = 2n$

$\frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$

3. 分母の各項から $n$ をくくり出します。

$\frac{2n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})} + \sqrt{n^2(1-\frac{1}{n})}} = \frac{2n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}} + n\sqrt{1-\frac{1}{n}}}$

4. $n$ を約分します。

$\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}}$

5. $n \to \infty$ のときの極限を求めます。 $\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}} = \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$

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3. 最終的な答え

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