与えられた定積分 $\int_0^2 (-x^2+x)(e^{-x}+e^{-2x})dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_0^2 (-x^2+x)(e^{-x}+e^{-2x})dx$

を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$\int_0^2 (-x^2e^{-x} -x^2e^{-2x} + xe^{-x} + xe^{-2x})dx$

次に、各項を個別に積分します。部分積分を繰り返し用いる必要があります。

$\int x^2e^{-x} dx = -x^2e^{-x} -2x e^{-x} -2e^{-x} + C$

$\int x^2e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}x^2e^{-2x} - \frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

$\int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$

これらを代入すると、

$\int_0^2 (-x^2e^{-x} -x^2e^{-2x} + xe^{-x} + xe^{-2x})dx = [x^2e^{-x} +2xe^{-x} +2e^{-x} + \frac{1}{2}x^2e^{-2x} + \frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} -xe^{-x} -e^{-x} -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}]_0^2$

$= [x^2e^{-x} +xe^{-x} +e^{-x} + \frac{1}{2}x^2e^{-2x}]_0^2$

$= [4e^{-2} + 2e^{-2} + e^{-2} + \frac{1}{2}(4)e^{-4}] - [0 + 0 + 1 + 0]$

$= 7e^{-2} + 2e^{-4} - 1$

3. 最終的な答え

$7e^{-2} + 2e^{-4} - 1$