与えられた定積分 $\int_0^2 ((-x^2+x)e^{-x} + e^{-2x}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_0^2 ((-x^2+x)e^{-x} + e^{-2x}) dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分けます。

$\int_0^2 ((-x^2+x)e^{-x} + e^{-2x}) dx = \int_0^2 (-x^2+x)e^{-x} dx + \int_0^2 e^{-2x} dx$

最初の積分を$I_1$、2番目の積分を$I_2$とします。

$I_1 = \int_0^2 (-x^2+x)e^{-x} dx$

$I_2 = \int_0^2 e^{-2x} dx$

$I_1$の積分を部分積分を使って計算します。

まず、$\int x e^{-x} dx$を計算します。

$u = x, dv = e^{-x}dx$とおくと、$du = dx, v = -e^{-x}$となるので、

$\int x e^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

次に、$\int x^2 e^{-x} dx$を計算します。

$u = x^2, dv = e^{-x}dx$とおくと、$du = 2x dx, v = -e^{-x}$となるので、

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2e^{-x} - \int -2xe^{-x} dx = -x^2e^{-x} + 2 \int xe^{-x} dx = -x^2e^{-x} + 2(-xe^{-x} - e^{-x}) + C = -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C$

よって、

$\int (-x^2+x)e^{-x} dx = -(-x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x}) + (-xe^{-x} - e^{-x}) + C = x^2e^{-x} + 2xe^{-x} + 2e^{-x} -xe^{-x} - e^{-x} + C = x^2e^{-x} + xe^{-x} + e^{-x} + C$

したがって、$I_1 = \int_0^2 (-x^2+x)e^{-x} dx = [x^2e^{-x} + xe^{-x} + e^{-x}]_0^2 = (4e^{-2} + 2e^{-2} + e^{-2}) - (0 + 0 + e^0) = 7e^{-2} - 1$

次に、$I_2$を計算します。

$I_2 = \int_0^2 e^{-2x} dx = [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_0^2 = -\frac{1}{2}e^{-4} - (-\frac{1}{2}e^0) = -\frac{1}{2}e^{-4} + \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_0^2 ((-x^2+x)e^{-x} + e^{-2x}) dx = I_1 + I_2 = 7e^{-2} - 1 - \frac{1}{2}e^{-4} + \frac{1}{2} = 7e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-4} - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$7e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-4} - \frac{1}{2}$