$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x} (2x - x^2) = x(2-x) e^{-x}$ $f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のときです。 $f''(x) = (2 - 2x)e^{-x} - x(2-x)e^{-x} = e^{-x}(2-4x+x^2)$ $f''(0) = 2 > 0$ より、$x = 0$ で極小値をとります。$f(0) = 0$ $f''(2) = e^{-2}(2-8+4) = -2e^{-2} < 0$ より、$x = 2$ で極大値をとります。$f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 不等式 $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ (ただし $x > 0$) を示せ。

(2) 関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ の極値、凹凸、漸近線を調べて、曲線 $y = f(x)$ の概形を描け。

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2. 解き方の手順

### (1) 不等式 $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ の証明 (x > 0)

まず、$\sin x < x$ を示します。

関数 $g(x) = x - \sin x$ を考えます。

$g'(x) = 1 - \cos x$ です。

$x > 0$ において、$\cos x \leq 1$ より $g'(x) \geq 0$ となります。

したがって、$g(x)$ は単調増加です。

$g(0) = 0 - \sin 0 = 0$ であるため、$x > 0$ において $g(x) > 0$ となります。

よって、$x - \sin x > 0$ すなわち $\sin x < x$ が成り立ちます。

次に、$x - \frac{x^3}{6} < \sin x$ を示します。

関数 $h(x) = \sin x - (x - \frac{x^3}{6})$ を考えます。

$h'(x) = \cos x - (1 - \frac{x^2}{2}) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$

$h''(x) = -\sin x + x$

先程示したように $x > 0$ において $x > \sin x$ より $h''(x) > 0$ です。

したがって、$h'(x)$ は単調増加です。

$h'(0) = \cos 0 - 1 + \frac{0^2}{2} = 1 - 1 + 0 = 0$

よって、$x > 0$ において $h'(x) > 0$ となります。

したがって、$h(x)$ は単調増加です。

$h(0) = \sin 0 - (0 - \frac{0^3}{6}) = 0 - 0 = 0$

よって、$x > 0$ において $h(x) > 0$ となります。

したがって、$\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ が成り立ちます。

以上より、$x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ が証明されました。

### (2) 関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ の解析

1. **極値**

$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x} (2x - x^2) = x(2-x) e^{-x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のときです。

$f''(x) = (2 - 2x)e^{-x} - x(2-x)e^{-x} = e^{-x}(2-4x+x^2)$

$f''(0) = 2 > 0$ より、$x = 0$ で極小値をとります。$f(0) = 0$

$f''(2) = e^{-2}(2-8+4) = -2e^{-2} < 0$ より、$x = 2$ で極大値をとります。$f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

2. **凹凸**

$f''(x) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2) = 0$ となるのは

$x^2 - 4x + 2 = 0$ のときです。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$x = 2 - \sqrt{2}$ と $x = 2 + \sqrt{2}$ が変曲点です。

$f(2 - \sqrt{2}) = (2 - \sqrt{2})^2 e^{-(2 - \sqrt{2})}$

$f(2 + \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})^2 e^{-(2 + \sqrt{2})}$

3. **漸近線**

$\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ (ロピタルの定理を2回適用)

したがって、$y = 0$ が漸近線です。

$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = \infty$ なので、負の方向には漸近線はありません。

4. **グラフの概形**

* $x=0$ で極小値 $0$

* $x=2$ で極大値 $\frac{4}{e^2} \approx 0.54$

* $x = 2 - \sqrt{2} \approx 0.59$ で変曲点、 $f(2-\sqrt{2}) \approx 0.19$

* $x = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$ で変曲点、$f(2+\sqrt{2}) \approx 0.38$

* $y = 0$ (x軸) が漸近線

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3. 最終的な答え

(1) $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ (x > 0) は証明された。

(2) 関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ について：

* 極小値: $f(0) = 0$

* 極大値: $f(2) = \frac{4}{e^2}$

* 変曲点: $x = 2 \pm \sqrt{2}$

* 漸近線: $y = 0$ (x軸)

グラフの概形は、上記の極値、変曲点、漸近線に基づき、0から増加し、x=2で極大値をとり、その後は0に近づくような形になります。