領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}, x \le y \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}\}$ 上で、二重積分 $\iint_D \sin(y^2) \, dx \, dy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}, x \le y \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}\}$ 上で、二重積分 $\iint_D \sin(y^2) \, dx \, dy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を確認します。$0 \le x \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ かつ $x \le y \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ なので、二重積分を以下の順序で計算します。

$$\iint_D \sin(y^2) \, dx \, dy = \int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \int_x^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \sin(y^2) \, dy \, dx$$

積分順序を入れ替えることを考えます。領域 $D$ は、$0 \le x \le y$ かつ $0 \le y \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ とも書けます。したがって、積分を以下のように書き換えることができます。

$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \int_0^y \sin(y^2) \, dx \, dy$$

まず、$x$ について積分します。

$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \left[ x \sin(y^2) \right]_0^y dy = \int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} y \sin(y^2) \, dy$$

次に、$y$ について積分します。$u = y^2$ とおくと、$du = 2y \, dy$ となり、$y \, dy = \frac{1}{2} du$ となります。また、$y=0$ のとき $u=0$ であり、$y = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ のとき $u = \frac{\pi}{2}$ です。よって、積分は

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u) \, du = \frac{1}{2} \left[ -\cos(u) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) \right) = \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$