与えられた積分 $\int \frac{x^2(x^3+1)}{x^6+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2(x^3+1)}{x^6+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$$\int \frac{x^2(x^3+1)}{x^6+1} dx = \int \frac{x^5+x^2}{x^6+1} dx$$

次に、積分を2つの部分に分けます。

$$\int \frac{x^5}{x^6+1} dx + \int \frac{x^2}{x^6+1} dx$$

一つ目の積分 $\int \frac{x^5}{x^6+1} dx$ について、$u = x^6+1$ と置換します。

$du = 6x^5 dx$ となり、$x^5 dx = \frac{1}{6} du$ となります。

$$\int \frac{x^5}{x^6+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{6} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{6} \ln |x^6+1| + C_1$$

二つ目の積分 $\int \frac{x^2}{x^6+1} dx$ について、$v = x^3$ と置換します。

$dv = 3x^2 dx$ となり、$x^2 dx = \frac{1}{3} dv$ となります。

$$\int \frac{x^2}{x^6+1} dx = \int \frac{1}{v^2+1} \cdot \frac{1}{3} dv = \frac{1}{3} \int \frac{1}{v^2+1} dv = \frac{1}{3} \arctan(v) + C_2 = \frac{1}{3} \arctan(x^3) + C_2$$

したがって、元の積分は次のようになります。

$$\int \frac{x^5+x^2}{x^6+1} dx = \frac{1}{6} \ln |x^6+1| + \frac{1}{3} \arctan(x^3) + C$$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6} \ln(x^6+1) + \frac{1}{3} \arctan(x^3) + C$