与えられた極限の等式を証明する問題です。具体的には、 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}$ を証明します。

1. 問題の内容

与えられた極限の等式を証明する問題です。具体的には、

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}$

を証明します。

2. 解き方の手順

自然対数の底 $e$ の定義式を利用します。

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

であること、または

$e = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$

が知られています。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ の極限を求めるために、$m = -n$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $m \to -\infty$ です。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \lim_{m \to -\infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m}$

$t = -m$ とおくと、$m \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ です。したがって、

$\lim_{m \to -\infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m} = \lim_{t \to \infty} (1 - \frac{1}{t})^{t} = \lim_{t \to \infty} (\frac{t-1}{t})^t$

ここで、逆数を考えると、

$\lim_{t \to \infty} (\frac{t}{t-1})^t = \lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t-1})^t$

$u = t - 1$ とおくと、$t = u + 1$ なので、$t \to \infty$ のとき $u \to \infty$ です。

したがって、

$\lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t-1})^t = \lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^{u+1} = \lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u (1 + \frac{1}{u})$

ここで、$e = \lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u$ なので、

$\lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u (1 + \frac{1}{u}) = e \cdot \lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u}) = e \cdot (1 + 0) = e$

したがって、$\lim_{t \to \infty} (\frac{t}{t-1})^t = e$ であり、$\lim_{t \to \infty} (\frac{t-1}{t})^t = \frac{1}{e}$ となります。

よって、

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}$ が示されました。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}$