$f'(x) = 2\cos 2x + 2 \sin x$

## 数学の問題を解く

### 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ のとき、次の関数の極値を求めよ。

(1) $f(x) = \sin 2x - 2 \cos x$

(2) $f(x) = \sin x(1 + \cos x)$

(3) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

(4) $f(x) = e^{-x} \sin x$

### 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin 2x - 2 \cos x$

1. 微分する:

$f'(x) = 2\cos 2x + 2 \sin x$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:

$2\cos 2x + 2 \sin x = 0$

$\cos 2x + \sin x = 0$

$1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}, 1$

3. $0 \le x \le 2\pi$ で $\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

$\sin x = 1$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{2}$

4. 増減表を作成し、極値を求める:

$f(\frac{\pi}{2}) = \sin \pi - 2 \cos \frac{\pi}{2} = 0 - 0 = 0$

$f(\frac{7\pi}{6}) = \sin \frac{7\pi}{3} - 2 \cos \frac{7\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$f(\frac{11\pi}{6}) = \sin \frac{11\pi}{3} - 2 \cos \frac{11\pi}{6} = \sin \frac{5\pi}{3} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

よって、$x = \frac{7\pi}{6}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 、$x = \frac{11\pi}{6}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 、$x = \frac{\pi}{2}$ で極値 $0$

(2) $f(x) = \sin x (1 + \cos x)$

1. 微分する:

$f'(x) = \cos x (1 + \cos x) + \sin x (-\sin x) = \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x = \cos x + \cos 2x$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:

$\cos x + \cos 2x = 0$

$\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0$

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

$(2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}, -1$

3. $0 \le x \le 2\pi$ で $\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\cos x = -1$ となる $x$ は $x = \pi$

4. 増減表を作成し、極値を求める:

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} (1 + \cos \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{5\pi}{3}) = \sin \frac{5\pi}{3} (1 + \cos \frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}(1 + \frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\pi) = \sin \pi (1 + \cos \pi) = 0 (1 - 1) = 0$

よって、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 、$x = \frac{5\pi}{3}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 、$x = \pi$ で極値 $0$

(3) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

1. 微分する:

$f'(x) = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin 2x + \sin x = \sin x (2\cos x + 1)$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:

$\sin x (2\cos x + 1) = 0$

$\sin x = 0$ または $2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0$ または $\cos x = -\frac{1}{2}$

3. $0 \le x \le 2\pi$ で $\sin x = 0$ となる $x$ は $x = 0, \pi, 2\pi$

$\cos x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

4. 増減表を作成し、極値を求める:

$f(0) = \sin^2 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$

$f(\pi) = \sin^2 \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$

$f(2\pi) = \sin^2 2\pi - \cos 2\pi = 0 - 1 = -1$

$f(\frac{2\pi}{3}) = \sin^2 \frac{2\pi}{3} - \cos \frac{2\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

$f(\frac{4\pi}{3}) = \sin^2 \frac{4\pi}{3} - \cos \frac{4\pi}{3} = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

よって、$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ で極大値 $\frac{5}{4}$ 、$x = 0, 2\pi$ で極小値 $-1$、$x = \pi$で極小値 $1$

(4) $f(x) = e^{-x} \sin x$

1. 微分する:

$f'(x) = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:

$e^{-x}(\cos x - \sin x) = 0$

$e^{-x} > 0$ なので、 $\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

$\tan x = 1$

3. $0 \le x \le 2\pi$ で $\tan x = 1$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

4. 増減表を作成し、極値を求める:

$f(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4} = e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(\frac{5\pi}{4}) = e^{-\frac{5\pi}{4}} \sin \frac{5\pi}{4} = e^{-\frac{5\pi}{4}} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -e^{-\frac{5\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$ 、$x = \frac{5\pi}{4}$ で極小値 $-e^{-\frac{5\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

### 最終的な答え

(1) $x = \frac{7\pi}{6}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 、$x = \frac{11\pi}{6}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 、$x = \frac{\pi}{2}$ で極値 $0$

(2) $x = \frac{\pi}{3}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 、$x = \frac{5\pi}{3}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 、$x = \pi$ で極値 $0$

(3) $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ で極大値 $\frac{5}{4}$ 、$x = 0, 2\pi$ で極小値 $-1$、$x = \pi$で極小値 $1$

(4) $x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$ 、$x = \frac{5\pi}{4}$ で極小値 $-e^{-\frac{5\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$