領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}, x \le y \le \sqrt{\frac{\pi}{2}} \}$ 上で、二重積分 $\iint_D \sin(y^2) dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}, x \le y \le \sqrt{\frac{\pi}{2}} \}$ 上で、二重積分 $\iint_D \sin(y^2) dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を確認します。

$0 \le x \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ かつ $x \le y \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ であるため、$D$ は、$xy$ 平面上で $x = 0$, $x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$, $y = x$, $y = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ で囲まれた領域になります。

積分順序を $dxdy$ から $dydx$ に変更します。

積分は以下のようになります。

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\iint_D \sin(y^2) dxdy = \int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \int_x^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \sin(y^2) dy dx

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ここで、積分順序を $dydx$ から $dxdy$ に変更します。

$D$ は、$0 \le x \le y$ かつ $0 \le y \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ でもあります。

したがって、積分は以下のようになります。

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\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \int_0^y \sin(y^2) dx dy

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まず、$x$ について積分します。

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\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \left[ x \sin(y^2) \right]_0^y dy = \int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} y \sin(y^2) dy

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次に、$y$ について積分します。

$u = y^2$ と置くと、$du = 2y dy$ より、$y dy = \frac{1}{2} du$ となります。

$y = 0$ のとき $u = 0$ であり、$y = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ のとき $u = \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、

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\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} y \sin(y^2) dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u) du

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\frac{1}{2} \left[ -\cos(u) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos(0)) \right) = \frac{1}{2} ( -0 - (-1) ) = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$