与えられた3つの $\theta$ の値について、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値をそれぞれ求める問題です。 (1) $\theta = \frac{7}{6}\pi$ (2) $\theta = \frac{5}{3}\pi$ (3) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$

1. 問題の内容

与えられた3つの $\theta$ の値について、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値をそれぞれ求める問題です。

(1) $\theta = \frac{7}{6}\pi$

(2) $\theta = \frac{5}{3}\pi$

(3) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$

2. 解き方の手順

単位円を用いて考えます。

(1) $\theta = \frac{7}{6}\pi$ の場合：

$\frac{7}{6}\pi$ は第3象限の角です。基準となる角度 $\frac{\pi}{6}$ から考えます。

$\sin \frac{7}{6}\pi = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

$\cos \frac{7}{6}\pi = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \frac{7}{6}\pi = \frac{\sin \frac{7}{6}\pi}{\cos \frac{7}{6}\pi} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\theta = \frac{5}{3}\pi$ の場合：

$\frac{5}{3}\pi$ は第4象限の角です。基準となる角度 $\frac{\pi}{3}$ から考えます。

$\sin \frac{5}{3}\pi = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{5}{3}\pi = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\tan \frac{5}{3}\pi = \frac{\sin \frac{5}{3}\pi}{\cos \frac{5}{3}\pi} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$

(3) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$ の場合：

$-\frac{3}{4}\pi$ は第3象限の角です。基準となる角度 $\frac{\pi}{4}$ から考えます。

$\sin (-\frac{3}{4}\pi) = -\sin (\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (-\frac{3}{4}\pi) = -\cos (\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (-\frac{3}{4}\pi) = \frac{\sin (-\frac{3}{4}\pi)}{\cos (-\frac{3}{4}\pi)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{7}{6}\pi = -\frac{1}{2}$, $\cos \frac{7}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \frac{7}{6}\pi = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\sin \frac{5}{3}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{5}{3}\pi = \frac{1}{2}$, $\tan \frac{5}{3}\pi = -\sqrt{3}$

(3) $\sin (-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos (-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan (-\frac{3}{4}\pi) = 1$