問題は2つあります。 (1) $a > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$ を示す。 (2) $0 < a < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$ を示す。ただし、$k$ は正の整数である。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $a > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$ を示す。

(2) $0 < a < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$ を示す。ただし、$k$ は正の整数である。

2. 解き方の手順

(1) $a > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$ を示す。

$a = 1 + h$ とおくと、$h > 0$ である。二項定理より、

$a^n = (1+h)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} h^i > \binom{n}{k+1} h^{k+1}$

$\binom{n}{k+1} = \frac{n(n-1)\dots(n-k)}{(k+1)!}$ であるから、

$a^n > \frac{n(n-1)\dots(n-k)}{(k+1)!} h^{k+1}$

$\frac{a^n}{n^k} > \frac{n(n-1)\dots(n-k)}{(k+1)! n^k} h^{k+1} = \frac{n(n-1)\dots(n-k)}{n^k} \frac{h^{k+1}}{(k+1)!}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)\dots(n-k)}{n^k} = 1$ より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)\dots(n-k)}{n^k} \frac{h^{k+1}}{(k+1)!} n = \infty$

よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$ が示された。

(2) $0 < a < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$ を示す。

$a = \frac{1}{b}$ とおくと、$b > 1$ である。

$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{b^n}$

ここで、$b > 1$ なので、(1) の結果より、$\lim_{n \to \infty} \frac{b^n}{n^k} = \infty$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{b^n} = 0$

よって、$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$

(2) $\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$