数列 $S_n$ が与えられています。 $S_n = 1 + 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot(\frac{1}{3})^2 + 4\cdot(\frac{1}{3})^3 + \dots + n\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}$ この数列の和 $S_n$ を $n$ の式で表す問題です。

1. 問題の内容

数列 $S_n$ が与えられています。

$S_n = 1 + 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot(\frac{1}{3})^2 + 4\cdot(\frac{1}{3})^3 + \dots + n\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}$

この数列の和 $S_n$ を $n$ の式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S_n$ を書きます。

$S_n = 1 + 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot(\frac{1}{3})^2 + 4\cdot(\frac{1}{3})^3 + \dots + n\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}$

次に、$S_n$ に $\frac{1}{3}$ をかけたものを書きます。

$\frac{1}{3}S_n = \frac{1}{3} + 2\cdot(\frac{1}{3})^2 + 3\cdot(\frac{1}{3})^3 + \dots + (n-1)\cdot(\frac{1}{3})^{n-1} + n\cdot(\frac{1}{3})^n$

$S_n$ から $\frac{1}{3}S_n$ を引きます。

$S_n - \frac{1}{3}S_n = (1 + 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot(\frac{1}{3})^2 + 4\cdot(\frac{1}{3})^3 + \dots + n\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}) - (\frac{1}{3} + 2\cdot(\frac{1}{3})^2 + 3\cdot(\frac{1}{3})^3 + \dots + (n-1)\cdot(\frac{1}{3})^{n-1} + n\cdot(\frac{1}{3})^n)$

$\frac{2}{3}S_n = 1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} - n\cdot(\frac{1}{3})^n$

右辺の $1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1}$ は初項1、公比$\frac{1}{3}$、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$

$\frac{2}{3}S_n = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) - n\cdot(\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3}{2} n\cdot(\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4}(1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3n}{2}(\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{9}{4}(\frac{1}{3})^n - \frac{3n}{2}(\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - (\frac{9}{4} + \frac{6n}{4})(\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4}(\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4} (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9 \cdot 3^n - 3(3 + 2n)}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+2} - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{3 + 2n}{4 \cdot 3^{n-2}} = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9 \cdot 3^n - (9 + 6n)}{4 \cdot 3^n} = \frac{9 \cdot 3^n - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{9\cdot3^n - 6n - 9}{4\cdot3^n}$

または

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{6n+9}{4\cdot3^n}$