問題は以下の4つの積分問題です。 * 第1問: 定積分 $\int_{0}^{1} \frac{2x^3 + 1}{x^4 + 2x + 1} dx$ の値を求める。 * 第2問: 定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}+1} \frac{1}{x^2 - 2x + 4} dx$ の値を求める。 * 第3問: 不定積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x+1)} dx$ を求める。 * 第4問: $\frac{1}{x^2(x-1)}$ の部分分数分解を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の4つの積分問題です。

* 第1問: 定積分 $\int_{0}^{1} \frac{2x^3 + 1}{x^4 + 2x + 1} dx$ の値を求める。

* 第2問: 定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}+1} \frac{1}{x^2 - 2x + 4} dx$ の値を求める。

* 第3問: 不定積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x+1)} dx$ を求める。

* 第4問: $\frac{1}{x^2(x-1)}$ の部分分数分解を求める。

2. 解き方の手順

* **第1問:**

被積分関数は $\frac{f'(x)}{f(x)}$ の形になっているかをチェックします。

$f(x) = x^4 + 2x + 1$ とおくと、$f'(x) = 4x^3 + 2$ となります。

与えられた積分は $\int_{0}^{1} \frac{2x^3 + 1}{x^4 + 2x + 1} dx$ です。

これは $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{4x^3 + 2}{x^4 + 2x + 1} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{f'(x)}{f(x)} dx$ と変形できます。

$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)| + C$ を利用すると、

$\frac{1}{2} [\log|x^4 + 2x + 1|]_0^1 = \frac{1}{2} (\log|1 + 2 + 1| - \log|0 + 0 + 1|) = \frac{1}{2} (\log 4 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 4 = \frac{1}{2} \log 2^2 = \log 2$

* **第2問:**

分母が因数分解できないので、平方完成します。

$x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2 + 3$

$\int_{1}^{\sqrt{3}+1} \frac{1}{(x-1)^2 + 3} dx$

$x - 1 = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$

$x = 1$ のとき、$\theta = 0$

$x = \sqrt{3} + 1$ のとき、$\tan \theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \tan^2 \theta + 3} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \sec^2 \theta} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} [\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4\sqrt{3}}$

* **第3問:**

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-2)$

$x = 2$ のとき、$1 = 3A$ より $A = \frac{1}{3}$

$x = -1$ のとき、$1 = -3B$ より $B = -\frac{1}{3}$

$\int \frac{1}{(x-2)(x+1)} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx = \frac{1}{3} (\log|x-2| - \log|x+1|) + C$

* **第4問:**

$\frac{1}{x^2(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x-1}$

$1 = ax(x-1) + b(x-1) + cx^2$

$x = 0$ のとき、$1 = -b$ より $b = -1$

$x = 1$ のとき、$1 = c$

$x^2$ の係数を見ると、$0 = a + c$ より $a = -c = -1$

したがって、$\frac{1}{x^2(x-1)} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x-1}$

3. 最終的な答え

* 第1問: $\log 2$

* 第2問: $\frac{\pi}{4\sqrt{3}}$

* 第3問: $\frac{1}{3}(\log|x-2| - \log|x+1|) + C$

* 第4問: $-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x-1}$