次の曲線や直線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。 (1) $y = -x^3 + 3x$, $y = x$ (2) $y = x^3 - 6x^2$, $y = x^2$

1. 問題の内容

次の曲線や直線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

(1) $y = -x^3 + 3x$, $y = x$

(2) $y = x^3 - 6x^2$, $y = x^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$-x^3 + 3x = x$

$-x^3 + 2x = 0$

$x^3 - 2x = 0$

$x(x^2 - 2) = 0$

$x = 0, x = \sqrt{2}, x = -\sqrt{2}$

次に、区間 $[-\sqrt{2}, 0]$ と $[0, \sqrt{2}]$ での定積分を計算します。

区間 $[-\sqrt{2}, 0]$ では、$-x^3 + 3x \leq x$ なので、積分の絶対値をとります。

$\int_{-\sqrt{2}}^{0} (x - (-x^3 + 3x)) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{0} (x^3 - 2x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - x^2]_{-\sqrt{2}}^{0} = 0 - (\frac{1}{4}(-\sqrt{2})^4 - (-\sqrt{2})^2) = 0 - (\frac{4}{4} - 2) = 0 - (1 - 2) = 1$

区間 $[0, \sqrt{2}]$ では、 $-x^3 + 3x \geq x$ なので、

$\int_{0}^{\sqrt{2}} ((-x^3 + 3x) - x) dx = \int_{0}^{\sqrt{2}} (-x^3 + 2x) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + x^2]_{0}^{\sqrt{2}} = (-\frac{1}{4}(\sqrt{2})^4 + (\sqrt{2})^2) - 0 = (-\frac{4}{4} + 2) = -1 + 2 = 1$

したがって、面積は $1 + 1 = 2$ となります。

(2)

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x^3 - 6x^2 = x^2$

$x^3 - 7x^2 = 0$

$x^2(x - 7) = 0$

$x = 0, x = 7$

次に、区間 $[0, 7]$ での定積分を計算します。

区間 $[0, 7]$ では、$x^3 - 6x^2 \leq x^2$ なので、

$\int_{0}^{7} (x^2 - (x^3 - 6x^2)) dx = \int_{0}^{7} (-x^3 + 7x^2) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{7}{3}x^3]_{0}^{7} = (-\frac{1}{4}(7)^4 + \frac{7}{3}(7)^3) - 0 = -\frac{2401}{4} + \frac{2401}{3} = 2401(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 2401(\frac{4 - 3}{12}) = \frac{2401}{12}$

したがって、面積は $\frac{2401}{12}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{2401}{12}$