定積分 $\int_1^2 \sqrt{4-x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^2 \sqrt{4-x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、三角関数による置換積分を行います。

$x = 2\sin\theta$ とおくと、$dx = 2\cos\theta \, d\theta$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 1$ のとき、$1 = 2\sin\theta$ なので、$\sin\theta = \frac{1}{2}$。したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

$x = 2$ のとき、$2 = 2\sin\theta$ なので、$\sin\theta = 1$。したがって、$\theta = \frac{\pi}{2}$。

したがって、

$\int_1^2 \sqrt{4-x^2} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sqrt{4-4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sqrt{4(1-\sin^2\theta)} \cdot 2\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sqrt{4\cos^2\theta} \cdot 2\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{\pi/6}^{\pi/2} 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{\pi/6}^{\pi/2} 4\cos^2\theta \, d\theta$

$= 4\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta$

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$= 4\int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta$

$= 2\int_{\pi/6}^{\pi/2} (1+\cos(2\theta)) \, d\theta$

$= 2\left[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{\pi/6}^{\pi/2}$

$= 2\left[\left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)\right]$

$= 2\left[\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]$

$= 2\left[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right]$

$= 2\left[\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right]$

$= 2\left[\frac{2\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right]$

$= 2\left[\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right]$

$= \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$