$\int_{1}^{e} \log{x} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{e} \log{x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解くことができます。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

この問題では、$u = \log{x}$ 、$dv = dx$ とします。すると、$du = \frac{1}{x} dx$ 、$v = x$ となります。したがって、

$\int_{1}^{e} \log{x} dx = [x \log{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} dx$

$= [x \log{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 dx$

$= [x \log{x}]_{1}^{e} - [x]_{1}^{e}$

$= (e \log{e} - 1 \log{1}) - (e - 1)$

$\log{e} = 1$ 、$\log{1} = 0$ であるから、

$= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1)$

$= e - (e - 1)$

$= e - e + 1$

$= 1$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{e} \log{x} dx = 1$