数列 $a_n = (-1)^n$ ($n = 1, 2, ...$) が収束しないことを示せ。

1. 問題の内容

数列 $a_n = (-1)^n$ ($n = 1, 2, ...$) が収束しないことを示せ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ が収束すると仮定する。つまり、ある実数 $\alpha$ が存在して、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|a_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立つ。

ここで、$\epsilon = 1$ とおく。すると、ある自然数 $N$ が存在して、$n > N$ ならば $|a_n - \alpha| < 1$ が成り立つ。

特に、$n = N+1$ と $n = N+2$ に対して、

$|a_{N+1} - \alpha| < 1$

$|a_{N+2} - \alpha| < 1$

$a_{N+1} = (-1)^{N+1}$ であり、$a_{N+2} = (-1)^{N+2} = -a_{N+1}$ であるから、

$|(-1)^{N+1} - \alpha| < 1$

$|(-1)^{N+2} - \alpha| = | -(-1)^{N+1} - \alpha| < 1$

三角不等式より、

$|(-1)^{N+1} - \alpha - (-(-1)^{N+1} - \alpha)| \le |(-1)^{N+1} - \alpha| + |-(-1)^{N+1} - \alpha|$

$|(-1)^{N+1} - \alpha + (-1)^{N+1} + \alpha| \le |(-1)^{N+1} - \alpha| + |(-1)^{N+2} - \alpha|$

$|2(-1)^{N+1}| \le |(-1)^{N+1} - \alpha| + |(-1)^{N+2} - \alpha|$

$2 \le 1 + 1 = 2$

これは一見すると矛盾がないように見えるが、実は異なる$\alpha$の値に対して矛盾が生じることを示す必要がある。

例えば$(-1)^{N+1} = 1$のとき、$|1-\alpha|<1$かつ$|-1-\alpha|<1$を満たす$\alpha$が存在しなければならない。

このとき、$0 < \alpha < 2$ かつ $-2 < \alpha < 0$ でなければならないので、このような$\alpha$は存在しない。

同様に、$(-1)^{N+1} = -1$のとき、$|-1-\alpha|<1$かつ$|1-\alpha|<1$を満たす$\alpha$が存在しなければならない。

このとき、$-2 < \alpha < 0$ かつ $0 < \alpha < 2$ でなければならないので、このような$\alpha$は存在しない。

したがって、数列$\{a_n\}$は収束しない。

3. 最終的な答え

数列 $a_n = (-1)^n$ は収束しない。