定積分 $\int_{0}^{1} \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$\left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 = \frac{(x+1)^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+2x+1}{(x^2+1)^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2} dx + \int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx + \int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx$

ここで、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan x]_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

また、$u = x^2+1$ とおくと、$du = 2x dx$ より、

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+2x+1}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$