$x = \sqrt{3} \cos\theta$, $y = \sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta$ (ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) のとき、定積分 $\int_0^{\sqrt{3}} y \, dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} \cos\theta$, $y = \sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta$ (ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) のとき、定積分 $\int_0^{\sqrt{3}} y \, dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$dx$ を $d\theta$ で表す。$x = \sqrt{3} \cos\theta$ を $\theta$ で微分すると、

$$\frac{dx}{d\theta} = -\sqrt{3} \sin\theta$$

したがって、$dx = -\sqrt{3} \sin\theta \, d\theta$ となる。

次に、積分範囲を $\theta$ の範囲に変換する。

$x = 0$ のとき、$\sqrt{3} \cos\theta = 0$ より $\cos\theta = 0$。$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta = \frac{\pi}{2}$ である。

$x = \sqrt{3}$ のとき、$\sqrt{3} \cos\theta = \sqrt{3}$ より $\cos\theta = 1$。$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta = 0$ である。

したがって、積分は

$$\int_0^{\sqrt{3}} y \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 (\sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta) (-\sqrt{3} \sin\theta) \, d\theta$$

$$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta) (\sqrt{3} \sin\theta) \, d\theta$$

$$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (3 \sin^2\theta + \sqrt{3} \sin\theta \cos\theta) \, d\theta$$

ここで、$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を用いて積分を計算する。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin^2\theta \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 \cdot \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{3}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta$$

$$= \frac{3}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{3\pi}{4}$$

また、$\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta)$ であるから、

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{3} \sin\theta \cos\theta \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \left( -\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2} (1) \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

したがって、

$$\int_0^{\sqrt{3}} y \, dx = \frac{3\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$