与えられた4つの関数をそれぞれ微分せよ。 (1) $y = (3x - 4)(x^2 + x + 1)$ (2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$ (3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ (4) $y = (\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} - 1)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分せよ。

(1) $y = (3x - 4)(x^2 + x + 1)$

(2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$

(3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x}$

(4) $y = (\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} - 1)$

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いて微分する。

また、$x^n$ の微分は $(x^n)' = nx^{n-1}$ を用いる。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$である。

(1) $y = (3x - 4)(x^2 + x + 1)$

$y' = (3)(x^2 + x + 1) + (3x - 4)(2x + 1)$

$y' = 3x^2 + 3x + 3 + 6x^2 + 3x - 8x - 4$

$y' = 9x^2 - 2x - 1$

(2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$

$y' = (2x)(x^3 + x) + (x^2 - 2)(3x^2 + 1)$

$y' = 2x^4 + 2x^2 + 3x^4 + x^2 - 6x^2 - 2$

$y' = 5x^4 - 3x^2 - 2$

(3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x} = (x^2 + 1)x^{\frac{1}{2}}$

$y' = (2x)x^{\frac{1}{2}} + (x^2 + 1)(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})$

$y' = 2x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{5}{2}x\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{5x\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{10x^2 + 1}{2\sqrt{x}}$

(4) $y = (\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} - 1) = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(2x^{\frac{1}{2}} - 1)$

$y' = (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})(2x^{\frac{1}{2}} - 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{-\frac{1}{2}})$

$y' = 1 - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1 + x^{-\frac{1}{2}}$

$y' = 2 + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 9x^2 - 2x - 1$

(2) $y' = 5x^4 - 3x^2 - 2$

(3) $y' = \frac{5}{2}x\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{10x^2 + 1}{2\sqrt{x}}$

(4) $y' = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$