定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{0} (\frac{2x}{x^2+1})^2 dx$ を、 $x = \tan{\theta}$ の置換を用いて計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{0} (\frac{2x}{x^2+1})^2 dx$ を、 $x = \tan{\theta}$ の置換を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \tan{\theta}$ と置換すると、$dx = \frac{1}{\cos^2{\theta}} d\theta = (1+\tan^2{\theta})d\theta$ となります。

また、積分範囲も変更します。

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$\tan{\theta} = -\sqrt{3}$ より $\theta = -\frac{\pi}{3}$ となります。

$x = 0$ のとき、$\tan{\theta} = 0$ より $\theta = 0$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{-\sqrt{3}}^{0} (\frac{2x}{x^2+1})^2 dx = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} (\frac{2\tan{\theta}}{\tan^2{\theta}+1})^2 (1+\tan^2{\theta}) d\theta$

$\tan^2{\theta}+1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ であるから、

$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} (\frac{2\tan{\theta}}{\frac{1}{\cos^2{\theta}}})^2 \frac{1}{\cos^2{\theta}} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} (2\tan{\theta} \cos^2{\theta})^2 \frac{1}{\cos^2{\theta}} d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} 4 \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}} \cos^4{\theta} \frac{1}{\cos^2{\theta}} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} 4\sin^2{\theta} d\theta$

$\sin^2{\theta} = \frac{1-\cos{2\theta}}{2}$ を用いて、

$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} 4\sin^2{\theta} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} 4 (\frac{1-\cos{2\theta}}{2}) d\theta = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} 2 (1-\cos{2\theta}) d\theta$

$= 2 \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin{2\theta} \right]_{-\frac{\pi}{3}}^{0} = 2 \left[ (0 - \frac{1}{2}\sin{0}) - (-\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\sin{(-\frac{2\pi}{3})}) \right]$

$= 2 \left[ 0 - (-\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2})) \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$