(1) 点 (1, 1) を通り、曲線 $y = x^2 - 4x + 5$ に接する直線の方程式を求める。 (2) $t > 0$ とするとき、曲線 $C: y = x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ における $C$ の法線 (P を通り、P における C の接線と直交する直線) は、点 (-2, 4) を通る。このとき、$t$ の値をすべて求める。

はい、承知いたしました。問題文を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 点 (1, 1) を通り、曲線 $y = x^2 - 4x + 5$ に接する直線の方程式を求める。

(2) $t > 0$ とするとき、曲線 $C: y = x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ における $C$ の法線 (P を通り、P における C の接線と直交する直線) は、点 (-2, 4) を通る。このとき、$t$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $y = x^2 - 4x + 5$ 上の点 $(a, a^2 - 4a + 5)$ における接線を考える。

$y' = 2x - 4$ より、接線の傾きは $2a - 4$ である。

よって、接線の方程式は、

$y - (a^2 - 4a + 5) = (2a - 4)(x - a)$

$y = (2a - 4)x - 2a^2 + 4a + a^2 - 4a + 5$

$y = (2a - 4)x - a^2 + 5$

この直線が点 $(1, 1)$ を通るので、

$1 = (2a - 4) \cdot 1 - a^2 + 5$

$1 = 2a - 4 - a^2 + 5$

$a^2 - 2a = 0$

$a(a - 2) = 0$

$a = 0, 2$

$a = 0$ のとき、接線は $y = -4x + 5$

$a = 2$ のとき、接線は $y = 0x + 1 = 1$

(2)

曲線 $y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線を考える。

$y' = 2x$ より、接線の傾きは $2t$ である。

よって、法線の傾きは $-\frac{1}{2t}$ である。

法線の方程式は、

$y - t^2 = -\frac{1}{2t}(x - t)$

$y = -\frac{1}{2t}x + \frac{1}{2} + t^2$

この直線が点 $(-2, 4)$ を通るので、

$4 = -\frac{1}{2t}(-2) + \frac{1}{2} + t^2$

$4 = \frac{1}{t} + \frac{1}{2} + t^2$

$4 - \frac{1}{2} = \frac{1}{t} + t^2$

$\frac{7}{2} = \frac{1}{t} + t^2$

両辺に $2t$ をかけて、

$7t = 2 + 2t^3$

$2t^3 - 7t + 2 = 0$

$(t - 2)(2t^2 + 4t - 1) = 0$

$t = 2$ または $2t^2 + 4t - 1 = 0$

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$t > 0$ より、$t = 2, -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -4x + 5$, $y = 1$

(2) $t = 2, -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$