次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} (\frac{x+1}{x^2+1})^2 dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (\frac{x+1}{x^2+1})^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(\frac{x+1}{x^2+1})^2 = \frac{(x+1)^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+2x+1}{(x^2+1)^2} dx$

この積分を2つに分けます。

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2} dx + \int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx + \int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx$

一つ目の積分は $\arctan(x)$ の原始関数を持ちます。二つ目の積分は $u = x^2+1$ と置換することで簡単に計算できます。

一つ目の積分：

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan(x)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

二つ目の積分：

$u = x^2+1$ と置換すると $du = 2x dx$ となります。また、積分範囲も変化します。$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=2$ となります。

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} du = \int_{1}^{2} u^{-2} du = [-u^{-1}]_{1}^{2} = [-\frac{1}{u}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

したがって、元の積分は

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+2x+1}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$