$\alpha < \beta$ を満たす実数 $\alpha, \beta$ が与えられたとき、以下の集合 $A, B, C$ の上限と下限を求めます。 (1) $A = (\alpha, \beta)$ (2) $B = \{-x^2 + 2x + 3 \mid x \in \mathbb{R}\}$ (3) $C = \{x^3 - 1 \mid x \in \mathbb{R}\}$

1. 問題の内容

$\alpha < \beta$ を満たす実数 $\alpha, \beta$ が与えられたとき、以下の集合 $A, B, C$ の上限と下限を求めます。

(1) $A = (\alpha, \beta)$

(2) $B = \{-x^2 + 2x + 3 \mid x \in \mathbb{R}\}$

(3) $C = \{x^3 - 1 \mid x \in \mathbb{R}\}$

2. 解き方の手順

(1) $A = (\alpha, \beta)$ の場合:

$A$ は開区間 $(\alpha, \beta)$ です。

上限は $\beta$ であり、下限は $\alpha$ です。$\beta$ と $\alpha$ はそれぞれ $A$ に含まれません。

$\sup A = \beta$

$\inf A = \alpha$

(2) $B = \{-x^2 + 2x + 3 \mid x \in \mathbb{R}\}$ の場合:

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$ とおきます。

平方完成すると、

$f(x) = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 3 = -(x - 1)^2 + 4$

$f(x)$ は $x = 1$ で最大値 $4$ を取ります。

したがって、$B$ の上限は $4$ です。

$\sup B = 4$

$x$ が任意の実数を取れるので、$f(x)$ はいくらでも小さくなり、$B$ に下限は存在しません。

$\inf B = -\infty$

(3) $C = \{x^3 - 1 \mid x \in \mathbb{R}\}$ の場合:

$g(x) = x^3 - 1$ とおきます。

$x$ が任意の実数を取れるので、$g(x)$ はいくらでも大きくなり、いくらでも小さくなります。

したがって、$C$ に上限も下限も存在しません。

$\sup C = \infty$

$\inf C = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) $A = (\alpha, \beta)$ の場合:

上限: $\beta$

下限: $\alpha$

(2) $B = \{-x^2 + 2x + 3 \mid x \in \mathbb{R}\}$ の場合:

上限: $4$

下限: $-\infty$ (下限は存在しない)

(3) $C = \{x^3 - 1 \mid x \in \mathbb{R}\}$ の場合:

上限: $\infty$ (上限は存在しない)

下限: $-\infty$ (下限は存在しない)