次の3つの方程式で与えられた $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (1) $x^2 + y^2 + 2x - 4 = 0$ (2) $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ (3) $9x^2 - 4y^2 = -36$

1. 問題の内容

次の3つの方程式で与えられた $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(1) $x^2 + y^2 + 2x - 4 = 0$

(2) $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$

(3) $9x^2 - 4y^2 = -36$

2. 解き方の手順

陰関数微分を使って $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(1) $x^2 + y^2 + 2x - 4 = 0$

両辺を $x$ で微分します。

$2x + 2y \frac{dy}{dx} + 2 = 0$

$2y \frac{dy}{dx} = -2x - 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2}{2y} = \frac{-x - 1}{y}$

(2) $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{2x}{16} + \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{8} + \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{8}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{8} \cdot \frac{9}{2y} = -\frac{9x}{16y}$

(3) $9x^2 - 4y^2 = -36$

両辺を $x$ で微分します。

$18x - 8y \frac{dy}{dx} = 0$

$8y \frac{dy}{dx} = 18x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{18x}{8y} = \frac{9x}{4y}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+1}{y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{16y}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{4y}$