区間 $A = (-\infty, 1]$ と $B = (0, +\infty)$ が与えられている。以下の問いに答える。 (1) $A \setminus B$, $B \setminus A$, $A \cap B$ を求めよ。 (2) $A$ の上界の集合 $U(A)$ と上限 $\sup A$ を求めよ。 (3) $B$ の下界の集合 $L(B)$ と下限 $\inf B$ を求めよ。

1. 問題の内容

区間 $A = (-\infty, 1]$ と $B = (0, +\infty)$ が与えられている。以下の問いに答える。

(1) $A \setminus B$, $B \setminus A$, $A \cap B$ を求めよ。

(2) $A$ の上界の集合 $U(A)$ と上限 $\sup A$ を求めよ。

(3) $B$ の下界の集合 $L(B)$ と下限 $\inf B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

- $A \setminus B$ は、$A$ に含まれるが $B$ に含まれない要素の集合である。つまり、$A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \notin B\}$。$A = (-\infty, 1]$ であり、$B = (0, +\infty)$ であるから、$A \setminus B = (-\infty, 0]$ となる。

- $B \setminus A$ は、$B$ に含まれるが $A$ に含まれない要素の集合である。つまり、$B \setminus A = \{x \mid x \in B \text{ かつ } x \notin A\}$。$A = (-\infty, 1]$ であり、$B = (0, +\infty)$ であるから、$B \setminus A = (1, +\infty)$ となる。

- $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。つまり、$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B\}$。$A = (-\infty, 1]$ であり、$B = (0, +\infty)$ であるから、$A \cap B = (0, 1]$ となる。

(2)

- $A$ の上界の集合 $U(A)$ は、$A$ のすべての要素よりも大きいか等しい実数の集合である。$A = (-\infty, 1]$ であるから、$U(A) = [1, +\infty)$ となる。

- $A$ の上限 $\sup A$ は、$A$ の上界の最小値である。$U(A) = [1, +\infty)$ であるから、$\sup A = 1$ となる。

(3)

- $B$ の下界の集合 $L(B)$ は、$B$ のすべての要素よりも小さいか等しい実数の集合である。$B = (0, +\infty)$ であるから、$L(B) = (-\infty, 0]$ となる。

- $B$ の下限 $\inf B$ は、$B$ の下界の最大値である。$L(B) = (-\infty, 0]$ であるから、$\inf B = 0$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $A \setminus B = (-\infty, 0]$, $B \setminus A = (1, +\infty)$, $A \cap B = (0, 1]$

(2) $U(A) = [1, +\infty)$, $\sup A = 1$

(3) $L(B) = (-\infty, 0]$, $\inf B = 0$