曲線 $y = x^3 + ax^2 + 2$ が、x座標が1である点Pにおいて、曲線 $y = -x^2 + bx$ と共通の接線を持つとき、定数 $a$、$b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + ax^2 + 2$ が、x座標が1である点Pにおいて、曲線 $y = -x^2 + bx$ と共通の接線を持つとき、定数 $a$、$b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Pの座標を求めます。x座標は1なので、$y = x^3 + ax^2 + 2$ に $x=1$ を代入すると $y = 1 + a + 2 = a + 3$ となります。

したがって、点Pの座標は $(1, a+3)$ です。

同様に、$y = -x^2 + bx$ に $x=1$ を代入すると $y = -1 + b$ となります。

共通の接線を持つので、$a+3 = -1+b$ が成り立ちます。

$a + 3 = -1 + b$

$b = a + 4$ ...(1)

次に、それぞれの曲線の微分を求めます。

$y' = 3x^2 + 2ax$

$y' = -2x + b$

点Pにおけるそれぞれの曲線の接線の傾きが等しいので、$x=1$ を代入すると、

$3(1)^2 + 2a(1) = -2(1) + b$

$3 + 2a = -2 + b$

$2a - b = -5$ ...(2)

(1)を(2)に代入します。

$2a - (a+4) = -5$

$2a - a - 4 = -5$

$a = -1$

これを(1)に代入すると、

$b = -1 + 4 = 3$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 3$