関数 $y = \sqrt{x+1}$ の導関数を、導関数の定義に従って求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x+1}$ の導関数を、導関数の定義に従って求める問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

です。この定義に従って計算を進めます。

まず、$f(x+h)$ を計算します。$f(x) = \sqrt{x+1}$ なので、

$f(x+h) = \sqrt{(x+h)+1} = \sqrt{x+h+1}$ となります。

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = \sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}$ となります。

次に、$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}}{h}$$

ここで、分子を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}$ を掛けます。

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\frac{\sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}}{h} \times \frac{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}} = \frac{(x+h+1) - (x+1)}{h(\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1})}

$$$$

分子を整理すると、

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\frac{x+h+1 - x - 1}{h(\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1})}

$$$$

$h$ を約分すると、

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\frac{1}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}

$$$$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

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\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x+0+1} + \sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}

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したがって、$y' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$