平面 $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, $z=0$, $z=1$ で囲まれる立体を $V$ とし、その表面で、$xy$ 平面上にない部分を $A$ とする。ベクトル場 $\mathbf{a} = (2xy, yz^2, zx)$ について、面積分 $\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS$ の値を求める。ただし、$\mathbf{n}$ は $A$ の法単位ベクトルで $A$ の外側に向いているものとする。

1. 問題の内容

平面 $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, $z=0$, $z=1$ で囲まれる立体を $V$ とし、その表面で、$xy$ 平面上にない部分を $A$ とする。ベクトル場 $\mathbf{a} = (2xy, yz^2, zx)$ について、面積分 $\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS$ の値を求める。ただし、$\mathbf{n}$ は $A$ の法単位ベクトルで $A$ の外側に向いているものとする。

2. 解き方の手順

ストークスの定理を用いる。ストークスの定理より、

$$\int_A (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}$$

ここで、$C$ は $A$ の境界であり、これは立方体の上面 ($z=1$) と側面 ($x=0, x=1, y=0, y=1$) の境界である。つまり、$C$ は平面 $z=0$ を除く立方体の表面と$xy$平面との交線。ただし、積分の向きは $A$ の法線ベクトルと右ねじの法則に従う向きとする。具体的には、$C$は4つの線分からなる。

$C_1$: $(x, 0, 0)$ with $x$ from $0$ to $1$

$C_2$: $(1, y, 0)$ with $y$ from $0$ to $1$

$C_3$: $(x, 1, 0)$ with $x$ from $1$ to $0$

$C_4$: $(0, y, 0)$ with $y$ from $1$ to $0$

線積分を計算する。$\mathbf{a} = (2xy, yz^2, zx)$ であるから、$z=0$ より $\mathbf{a} = (2xy, 0, 0)$.

$C_1$: $\mathbf{r}(t) = (t, 0, 0)$, $0 \le t \le 1$, $d\mathbf{r} = (1, 0, 0) dt$, $\mathbf{a} = (0, 0, 0)$, $\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$. よって $\int_{C_1} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$.

$C_2$: $\mathbf{r}(t) = (1, t, 0)$, $0 \le t \le 1$, $d\mathbf{r} = (0, 1, 0) dt$, $\mathbf{a} = (2t, 0, 0)$, $\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$. よって $\int_{C_2} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$.

$C_3$: $\mathbf{r}(t) = (1-t, 1, 0)$, $0 \le t \le 1$, $d\mathbf{r} = (-1, 0, 0) dt$, $\mathbf{a} = (2(1-t), 0, 0)$, $\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = -2(1-t) dt$. よって $\int_{C_3} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 -2(1-t) dt = -2[t - \frac{1}{2}t^2]_0^1 = -2(1-\frac{1}{2}) = -1$.

$C_4$: $\mathbf{r}(t) = (0, 1-t, 0)$, $0 \le t \le 1$, $d\mathbf{r} = (0, -1, 0) dt$, $\mathbf{a} = (0, 0, 0)$, $\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$. よって $\int_{C_4} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0$.

$\oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_1} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_2} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_3} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_4} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = 0 + 0 + (-1) + 0 = -1$.

3. 最終的な答え

-1