平均値の定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x}}{x - \tan x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

平均値の定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x}}{x - \tan x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(t) = e^t$ を考える。平均値の定理より、ある $x$ と $\tan x$ の間の値 $c$ が存在して、

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\frac{f(x) - f(\tan x)}{x - \tan x} = f'(c)

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が成り立つ。つまり、

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\frac{e^x - e^{\tan x}}{x - \tan x} = e^c

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ここで、$x \to 0$ のとき、$\tan x \to 0$ であり、$c$ は $x$ と $\tan x$ の間の値なので、$c \to 0$ となる。したがって、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x}}{x - \tan x} = \lim_{c \to 0} e^c

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$e^c$ は連続関数なので、

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\lim_{c \to 0} e^c = e^0 = 1

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3. 最終的な答え

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