次の関数の極値を求めます。 (1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ (2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$

1. 問題の内容

次の関数の極値を求めます。

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

(2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ の極値を求める。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-3x^2 + 12x - 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = -6x + 12$

$x = 1$ のとき、$f''(1) = -6(1) + 12 = 6 > 0$ より、$x = 1$ で極小値をとる。

$f(1) = -1^3 + 6(1)^2 - 9(1) + 1 = -1 + 6 - 9 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき、$f''(3) = -6(3) + 12 = -18 + 12 = -6 < 0$ より、$x = 3$ で極大値をとる。

$f(3) = -3^3 + 6(3)^2 - 9(3) + 1 = -27 + 54 - 27 + 1 = 1$

(2) $f(x) = x^2 e^{-2x}$ の極値を求める。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 2x e^{-2x} + x^2 (-2) e^{-2x} = 2x e^{-2x} - 2x^2 e^{-2x} = 2x e^{-2x} (1 - x)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$2x e^{-2x} (1 - x) = 0$

$e^{-2x}$ は常に正なので、$2x(1-x) = 0$ より、$x = 0, 1$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = 2 e^{-2x} (1 - x) + 2x (-2) e^{-2x} (1 - x) + 2x e^{-2x} (-1) = 2e^{-2x} - 2xe^{-2x} - 4xe^{-2x} + 4x^2 e^{-2x} - 2xe^{-2x} = 2e^{-2x} - 8xe^{-2x} + 4x^2 e^{-2x} = 2e^{-2x} (1 - 4x + 2x^2)$

$x = 0$ のとき、$f''(0) = 2e^{-2(0)} (1 - 4(0) + 2(0)^2) = 2(1)(1) = 2 > 0$ より、$x = 0$ で極小値をとる。

$f(0) = (0)^2 e^{-2(0)} = 0$

$x = 1$ のとき、$f''(1) = 2e^{-2(1)} (1 - 4(1) + 2(1)^2) = 2e^{-2} (1 - 4 + 2) = 2e^{-2} (-1) = -2e^{-2} < 0$ より、$x = 1$ で極大値をとる。

$f(1) = (1)^2 e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

3. 最終的な答え

(1)

$x = 1$ で極小値 $-3$ をとる。

$x = 3$ で極大値 $1$ をとる。

(2)

$x = 0$ で極小値 $0$ をとる。

$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e^2}$ をとる。