$y = x^4 - 2x^2$ のグラフの概形を描く。

## 問題の回答

以下の問題について、グラフの概形を求めます。

(1) $y = x^4 - 2x^2$

(2) $y = (x-1)^3(x-3)$

(3) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

(4) $y = \frac{4x}{x^2 + 4}$

(5) $y = e^{-x^2}$

(6) $y = x + 2\sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

### (1) $y = x^4 - 2x^2$

1. 問題の内容

$y = x^4 - 2x^2$ のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

* 偶関数であること（$y(-x) = y(x)$）を確認します。つまり、y軸に関して対称です。

* $y = x^2(x^2 - 2)$ と変形できます。

* $x$軸との交点は、$x^2(x^2 - 2) = 0$ より、$x = 0, \pm \sqrt{2}$ です。

* $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$ より、$y' = 0$ となるのは、$x = 0, \pm 1$ です。

* $y'' = 12x^2 - 4$ より、$y'' = 0$ となるのは、$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ です。

* 増減表を作成し、グラフの概形を把握します。

* $x=0$で極大値0

* $x=\pm1$で極小値-1

3. 最終的な答え

グラフはy軸に関して対称で、$x = 0$ で極大値 $0$ をとり、$x = \pm 1$ で極小値 $-1$ をとります。$x = \pm \sqrt{2}$ で $x$ 軸と交わります。

### (2) $y = (x-1)^3(x-3)$

1. 問題の内容

$y = (x-1)^3(x-3)$ のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

* $x$軸との交点は、$x = 1, 3$ です。$x = 1$ で接し、$x = 3$ で交わる。

* $y' = (x-1)^2(4x-6)$ より、$y' = 0$ となるのは、$x = 1, \frac{3}{2}$ です。

* $y'' = 6(x-1)(2x-3) + (x-1)^2 * 4 = 2(x-1)(5x-9)$

* 増減表を作成し、グラフの概形を把握します。

* $x=1$で極値を取らない（停留点）

* $x=3/2$で極大値

3. 最終的な答え

グラフは、$x = 1$ で $x$軸に接し、$x = 3$ で $x$軸と交わります。$x = 3/2$付近で極大値を取ります。

### (3) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

1. 問題の内容

$y = \frac{1}{x^2 + 1}$ のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

* 偶関数であること（$y(-x) = y(x)$）を確認します。つまり、y軸に関して対称です。

* $x$軸との交点はありません。

* $y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ より、$y' = 0$ となるのは、$x = 0$ です。

* $y'' = \frac{6x^2 - 2}{(x^2 + 1)^3}$より、$y'' = 0$ となるのは、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

* 増減表を作成し、グラフの概形を把握します。

* $x=0$で極大値1

* $x \to \pm \infty$ で $y \to 0$

3. 最終的な答え

グラフはy軸に関して対称で、$x = 0$ で極大値 $1$ をとり、$x \to \pm \infty$ で $y \to 0$ になります。

### (4) $y = \frac{4x}{x^2 + 4}$

1. 問題の内容

$y = \frac{4x}{x^2 + 4}$ のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

* 奇関数であること（$y(-x) = -y(x)$）を確認します。つまり、原点に関して対称です。

* $x$軸との交点は、$x = 0$ です。

* $y' = \frac{4(4 - x^2)}{(x^2 + 4)^2}$ より、$y' = 0$ となるのは、$x = \pm 2$ です。

* 増減表を作成し、グラフの概形を把握します。

* $x=2$で極大値1

* $x=-2$で極小値-1

* $x \to \pm \infty$ で $y \to 0$

3. 最終的な答え

グラフは原点に関して対称で、$x = 2$ で極大値 $1$ を、$x = -2$ で極小値 $-1$ をとります。$x \to \pm \infty$ で $y \to 0$ になります。

### (5) $y = e^{-x^2}$

1. 問題の内容

$y = e^{-x^2}$ のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

* 偶関数であること（$y(-x) = y(x)$）を確認します。つまり、y軸に関して対称です。

* $x$軸との交点はありません。

* $y' = -2xe^{-x^2}$ より、$y' = 0$ となるのは、$x = 0$ です。

* $y'' = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$ より、$y'' = 0$ となるのは、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

* 増減表を作成し、グラフの概形を把握します。

* $x=0$で極大値1

* $x \to \pm \infty$ で $y \to 0$

3. 最終的な答え

グラフはy軸に関して対称で、$x = 0$ で極大値 $1$ をとり、$x \to \pm \infty$ で $y \to 0$ になります。

### (6) $y = x + 2\sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

1. 問題の内容

$y = x + 2\sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$) のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

* $y' = 1 + 2\cos x$ より、$y' = 0$ となるのは、$\cos x = -\frac{1}{2}$、つまり、$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ です。

* $y'' = -2\sin x$ より、$y'' = 0$ となるのは、$x = 0, \pi, 2\pi$ です。

* 増減表を作成し、グラフの概形を把握します。

* $x = \frac{2\pi}{3}$で極大値

* $x = \frac{4\pi}{3}$で極小値

3. 最終的な答え

グラフは$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$x = \frac{2\pi}{3}$ 付近で極大値を、$x = \frac{4\pi}{3}$ 付近で極小値を取ります。$x = 0$ で $y=0$、$x = 2\pi$ で $y = 2\pi$ です。