3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=2$ で $x$ 軸に接しており、原点における接線の方程式が $y = -2x$ である。このとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=2$ で $x$ 軸に接しており、原点における接線の方程式が $y = -2x$ である。このとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

以下の手順で $a, b, c, d$ の値を求める。

* $x=2$ で $x$ 軸に接することから、$y = a(x-2)^2(x-k)$ の形になることを利用する。

* 原点における接線の傾きは $-2$ であることから、$y'(0) = -2$ となることを利用する。

* 原点を通る、つまり $x=0$ のとき $y=0$ であることから、$y(0) = 0$ となることを利用する。

まず、$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=2$ で $x$ 軸に接するという条件から、$y$ は $(x-2)^2$ を因数に持つ。したがって、$y = (x-2)^2(px+q)$ の形になる。

展開すると、$y = (x^2 - 4x + 4)(px+q) = px^3 + qx^2 - 4px^2 - 4qx + 4px + 4q = px^3 + (q-4p)x^2 + (4p-4q)x + 4q$となる。

ここで、$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ と比較すると、$a=p, b=q-4p, c=4p-4q, d=4q$ となる。

次に、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であることから、

$y(0) = 0$ および $y'(0) = -2$ が成り立つ。

$y(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d = 0$ である。したがって、$d = 0$。

$d = 4q$ より、$4q = 0$ なので、$q=0$。

すると、$b = q - 4p = -4p$、 $c = 4p - 4q = 4p$ となる。

したがって、$y = ax^3 - 4px^2 + 4px + 0 = px^3 - 4px^2 + 4px$ となる。

次に、$y'(x) = 3px^2 - 8px + 4p$。

$y'(0) = 3p(0)^2 - 8p(0) + 4p = 4p = -2$。

よって、$p = -\frac{1}{2}$ となる。

したがって、$a = p = -\frac{1}{2}, b = -4p = -4(-\frac{1}{2}) = 2, c = 4p = 4(-\frac{1}{2}) = -2, d = 0$。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$, $b = 2$, $c = -2$, $d = 0$