3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x = 2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x = 2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. $x = 2$ で $x$ 軸に接するという条件より、$y(2) = 0$ かつ $y'(2) = 0$ が成り立ちます。

2. 原点における接線が $y = -2x$ であるという条件より、$y(0) = 0$ かつ $y'(0) = -2$ が成り立ちます。

3. $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ より、$y' = 3ax^2 + 2bx + c$ となります。

4. $y(0) = 0$ より、$a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 0$ なので、$d = 0$ が得られます。

5. $y'(0) = -2$ より、$3a(0)^2 + 2b(0) + c = -2$ なので、$c = -2$ が得られます。

6. $y(2) = 0$ より、$8a + 4b + 2c + d = 0$ となります。$c = -2$、$d = 0$ を代入すると、$8a + 4b - 4 = 0$ となり、$2a + b - 1 = 0$、すなわち $b = 1 - 2a$ が得られます。

7. $y'(2) = 0$ より、$12a + 4b + c = 0$ となります。$c = -2$、$b = 1 - 2a$ を代入すると、$12a + 4(1 - 2a) - 2 = 0$ となり、$12a + 4 - 8a - 2 = 0$ なので、$4a + 2 = 0$、$a = -\frac{1}{2}$ が得られます。

8. $b = 1 - 2a$ より、$b = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = -2$

$d = 0$