3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ があり、以下の条件が与えられています。 * $x = 2$ で $x$ 軸に接する。 * 原点における接線の方程式が $y = -2x$ である。 このとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。

## 解答

1. 問題の内容

3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ があり、以下の条件が与えられています。

* $x = 2$ で $x$ 軸に接する。

* 原点における接線の方程式が $y = -2x$ である。

このとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **条件1: $x = 2$ で $x$ 軸に接する**

$x=2$ で接するので、$y = a(x - 2)^2(x - k)$ (kは定数) とおくことができます。

ここで、$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ と一致するように展開します。

$y = a(x^2 - 4x + 4)(x - k)$

$y = a(x^3 - kx^2 - 4x^2 + 4kx + 4x - 4k)$

$y = a(x^3 - (k + 4)x^2 + (4k + 4)x - 4k)$

$y = ax^3 - a(k + 4)x^2 + a(4k + 4)x - 4ak$

よって、$b = -a(k + 4)$、$c = a(4k + 4)$、$d = -4ak$ となります。

* **条件2: 原点における接線の方程式が $y = -2x$**

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ において、原点 $(0, 0)$ を通るので、$d = 0$。

したがって、$d = -4ak = 0$ から $a \neq 0$ であるので $k = 0$ が導かれます。

$k=0$を代入すると、$y = ax^3 - 4ax^2 + 4ax$。

$y' = 3ax^2 - 8ax + 4a$

$x = 0$ における接線の傾きは、$y'(0) = 4a$。

この傾きが $-2$ に等しいので、$4a = -2$。

よって、$a = -\frac{1}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$, $k=0$より

$b = -a(k + 4) = - (-\frac{1}{2}) (0+4) = 2$

$c = a(4k + 4) = -\frac{1}{2} (4 \cdot 0 + 4) = -2$

$d = 0$

* **検証**

$y = -\frac{1}{2}x^3 + 2x^2 - 2x$

$x=2$を代入すると

$y = -\frac{1}{2} \cdot 8 + 2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = -4 + 8 - 4 = 0$

$y' = -\frac{3}{2}x^2 + 4x - 2$

$y'(0) = -2$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = -2$

$d = 0$