次の4つの関数の増減を調べる問題です。 (1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ (2) $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 5$ (3) $y = -e^x - x$ (4) $y = 3x - 2\sin x$

1. 問題の内容

次の4つの関数の増減を調べる問題です。

(1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

(2) $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 5$

(3) $y = -e^x - x$

(4) $y = 3x - 2\sin x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

底が$\frac{1}{2}$なので、$0 < \frac{1}{2} < 1$です。対数関数$y = \log_a x$は、$0 < a < 1$のとき、減少関数です。

よって、$y = \log_{\frac{1}{2}} x$は、$x > 0$において減少関数です。

(2) $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 5$

まず、導関数を求めます。

$y' = 6x^2 - 6x + 6 = 6(x^2 - x + 1)$

$x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ なので、$y' > 0$です。

したがって、$y$は常に増加関数です。

(3) $y = -e^x - x$

まず、導関数を求めます。

$y' = -e^x - 1$

$e^x > 0$なので、$-e^x < 0$。したがって、$y' = -e^x - 1 < -1 < 0$です。

よって、$y$は常に減少関数です。

(4) $y = 3x - 2\sin x$

まず、導関数を求めます。

$y' = 3 - 2\cos x$

$-1 \le \cos x \le 1$なので、$-2 \le 2\cos x \le 2$。

したがって、$3 - 2 \le 3 - 2\cos x \le 3 + 2$となり、$1 \le y' \le 5$。

よって、$y' > 0$であるため、$y$は常に増加関数です。

3. 最終的な答え

(1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$: $x > 0$ で減少

(2) $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 5$: 常に増加

(3) $y = -e^x - x$: 常に減少

(4) $y = 3x - 2\sin x$: 常に増加