数直線上の点Pが原点からスタートし、正の方向に5進み、次に負の方向に5/2進む。その後は正と負の方向に前の半分ずつ進むとき、以下の問に答えます。 (1) 5回目に移動した点P5のx座標を求めます。 (2) これを無限に繰り返したとき、点Pが近づくx座標を求めます。

1. 問題の内容

数直線上の点Pが原点からスタートし、正の方向に5進み、次に負の方向に5/2進む。その後は正と負の方向に前の半分ずつ進むとき、以下の問に答えます。

(1) 5回目に移動した点P5のx座標を求めます。

(2) これを無限に繰り返したとき、点Pが近づくx座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 5回目に移動した点P5のx座標を求める。

点Pの座標を $x_n$ とする。

1回目: $x_1 = 5$

2回目: $x_2 = 5 - \frac{5}{2}$

3回目: $x_3 = 5 - \frac{5}{2} + \frac{5}{4}$

4回目: $x_4 = 5 - \frac{5}{2} + \frac{5}{4} - \frac{5}{8}$

5回目: $x_5 = 5 - \frac{5}{2} + \frac{5}{4} - \frac{5}{8} + \frac{5}{16}$

これは初項5、公比-1/2の等比数列の和です。

$x_5 = 5 \sum_{k=0}^{4} (-\frac{1}{2})^k = 5 \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{2})^5}{1 - (-\frac{1}{2})} = 5 \cdot \frac{1 + \frac{1}{32}}{\frac{3}{2}} = 5 \cdot \frac{\frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = 5 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} = 5 \cdot \frac{11}{16} = \frac{55}{16}$

(2) 無限に繰り返したときの点Pのx座標を求める。

これは無限等比級数の和なので、

$x = 5 \sum_{k=0}^{\infty} (-\frac{1}{2})^k = 5 \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = 5 \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{55}{16}$

(2) $\frac{10}{3}$