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問題2(2)(p.99)の変更問題として、関数 $y = x^3 - 3x^2 + 2$ の導関数を求め、さらにその導関数を因数分解し、増減表を完成させる。

解析学導関数増減表微分因数分解三次関数
2025/6/30

1. 問題の内容

問題2(2)(p.99)の変更問題として、関数 y=x3−3x2+2y = x^3 - 3x^2 + 2 の導関数を求め、さらにその導関数を因数分解し、増減表を完成させる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 y=x3−3x2+2y = x^3 - 3x^2 + 2 の導関数を求める。
dydx=3x2−6x\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x
次に、導関数を因数分解する。
3x2−6x=3x(x−2)3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
導関数が0となるのは、3x(x−2)=03x(x-2)=0より、x=0x=0とx=2x=2である。
これらの値を用いて、増減表を作成する。
| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |
|--------|-------|-------|-------|-------|-------|
| x | - | 0 | + | + | + |
| x - 2 | - | - | - | 0 | + |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | 増加 | 2 | 減少 | -2 | 増加 |
x=0x=0 のとき、y=03−3(0)2+2=2y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2
x=2x=2 のとき、y=23−3(2)2+2=8−12+2=−2y = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

3. 最終的な答え

導関数: 3x(x−2)3x(x-2)
増減表:
| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |
|--------|-------|-------|-------|-------|-------|
| x | - | 0 | + | + | + |
| x - 2 | - | - | - | 0 | + |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | 増加 | 2 | 減少 | -2 | 増加 |

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