与えられた無限級数の和を求めます。級数は以下の通りです。 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+2} + (-3)^n}{5^n}$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求めます。級数は以下の通りです。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+2} + (-3)^n}{5^n}$

2. 解き方の手順

与えられた級数を2つの級数に分割します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+2} + (-3)^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+2}}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{5^n}$

最初の級数は以下のようになります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+2}}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 \cdot 2^n}{5^n} = 4 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{5})^n$

これは初項 $a = \frac{2}{5}$、公比 $r = \frac{2}{5}$ の等比級数です。 $|r| = \frac{2}{5} < 1$ なので、収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ で与えられます。

したがって、

$4 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{5})^n = 4 \cdot \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = 4 \cdot \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

2番目の級数は以下のようになります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{-3}{5})^n$

これは初項 $a = -\frac{3}{5}$、公比 $r = -\frac{3}{5}$ の等比級数です。 $|r| = \frac{3}{5} < 1$ なので、収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ で与えられます。

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{-3}{5})^n = \frac{-\frac{3}{5}}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{-\frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{8}{5}} = -\frac{3}{8}$

したがって、与えられた級数の和は以下のようになります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+2} + (-3)^n}{5^n} = \frac{8}{3} - \frac{3}{8} = \frac{8 \cdot 8 - 3 \cdot 3}{3 \cdot 8} = \frac{64 - 9}{24} = \frac{55}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{55}{24}$