問題は、次の無限級数の値を求めることです。 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 4^n}{6^n}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題は、次の無限級数の値を求めることです。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 4^n}{6^n}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた級数を2つの級数に分割します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 4^n}{6^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{6^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{6^n}$

次に、それぞれの級数を簡略化します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{6^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{6}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{6^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4}{6}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$

これらの級数は等比級数の形をしています。等比級数の公式は、

$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$, $|r| < 1$

今回の問題では、

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 4^n}{6^n} = 1 - 2 = -1$

3. 最終的な答え

-1