関数 $f(x, y) = x^{2y}$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^{2y}$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x, y)$ について:

* $x$ に関する偏導関数を求めます。$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2y x^{2y-1}$

* $y$ に関する偏導関数を求めます。$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2y} \ln(x^2) = 2 x^{2y} \ln(x)$

関数 $g(x, y)$ について:

* $x$ に関する偏導関数を求めます。$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

$\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}[(x+y)e^x] = (1)e^x + (x+y)e^x = (x+y+1)e^x$

* $y$ に関する偏導関数を求めます。$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}[(x+y)e^x] = e^x$

3. 最終的な答え

$f(x, y) = x^{2y}$ の偏導関数:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2y x^{2y-1}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2y} \ln(x)$

$g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数:

$\frac{\partial g}{\partial x} = (x+y+1)e^x$

$\frac{\partial g}{\partial y} = e^x$