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$\int x \cos x dx$ を計算する問題です。

解析学積分部分積分定積分関数
2025/6/29

1. 問題の内容

∫xcos⁡xdx\int x \cos x dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du です。
u=xu = x と dv=cos⁡xdxdv = \cos x dx とおくと、
du=dxdu = dx であり、
v=∫cos⁡xdx=sin⁡xv = \int \cos x dx = \sin x となります。
部分積分の公式に代入すると、
∫xcos⁡xdx=xsin⁡x−∫sin⁡xdx\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx
=xsin⁡x−(−cos⁡x)+C= x \sin x - (-\cos x) + C
=xsin⁡x+cos⁡x+C= x \sin x + \cos x + C
となります。ここで、CC は積分定数です。

3. 最終的な答え

xsin⁡x+cos⁡x+Cx \sin x + \cos x + C

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